1994 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

假设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1 其他

。现在对

X

进行

n

次独立重复观测，以

V_{n}

表示观测值不大于

0.1

的次数，求随机变量

V_{n}

的概率分布。

答案

$P (V_{n} = k) = (k n) (0.01)^{k} (0.99)^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n$

一次观测值不大于 $0.1$ 的概率为

p = P (X \leq 0.1) = \int_{0}^{0.1} 2 x d x = 0.01.

各次观测相互独立， $V_{n}$ 是 $n$ 次独立试验中事件 $X \leq 0.1$ 发生的次数，所以 $V_{n} \sim Bin (n, 0.01)$ 。

因此其概率分布为

P (V_{n} = k) = (k n) (0.01)^{k} (0.99)^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n .