（1）同阶要求比值趋于有限非零常数。先确定分子的三阶主项，对 $\frac{0}{0}$ 型商使用洛必达法则，得到

这里使用 $1-{\sec }^{2}x=-{\tan }^{2}x$ 及 $\frac{\tan x}{x}\to 1$，导数之比极限存在。
（2）故 $\frac{(x-\tan x)}{x^k}=[\frac{(x-\tan x)}{x^3}]x^{3-k}$。$k=1,2$ 时该商趋于零；$k=3$ 时趋于 $-\frac{1}{3}$；$k=4$ 时其绝对值无界，右侧趋于负无穷、左侧趋于正无穷，不存在有限双侧极限。因此选 C。

由 $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，得 $x-\tan x=-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$。首个非零项为三次项，所以它与 $x^3$ 同阶，比值趋于 $-\frac{1}{3}$，故 $k=3$，选 C。同阶的常数可为负，并不要求等于 $1$；直接用 $\tan x\sim x$ 在相减中替换会丢失三阶项。