$f_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \mathrm{otherwise}.\end{array}$

$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}-\ln y,& 0<y<1,\\ 0,& \mathrm{otherwise}.\end{array}$

$1-\ln 2$

在 $0<x<1$ 上，$X$ 的密度为 $f_X(x)=1$；给定 $X=x$ 时，$Y$ 在 $(0,x)$ 上均匀分布，所以条件密度为 $f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{x}$（当 $0<y<x$）。

因此联合密度为 $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{x}$（当 $0<y<x<1$），在其余区域为 $0$。边界线是零概率集合，不影响密度的取值约定。

由第一问的联合密度，对固定的 $y$，可行的 $x$ 满足 $y<x<1$，这要求 $0<y<1$。故 $f_Y(y)={\int }_y^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x=-\ln y$（当 $0<y<1$），其余处取 $0$。

由第一问的联合密度，在支集 $0<y<x<1$ 上，条件 $x+y>1$ 要求 $x>\frac{1}{2}$，且对固定的 $x$ 有 $1-x<y<x$。因此 $P\{X+Y>1\}={\int }_{\frac{1}{2}}^1{\int }_{1-x}^x\frac{1}{x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。

计算得 ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{2x-1}{x}\mathrm{d}x={\left[2x-\ln x\right]}_{\frac{1}{2}}^1=1-\ln 2$。