设抛物线方程为 $y=a(x-1)(x-3)$，其中 $a\ne 0$。两坐标轴与抛物线围成的区域记为 $S_1$，$x$ 轴与抛物线围成的区域记为 $S_2$。

两区域分别对应 $x\in [0,1]$ 和 $x\in [1,3]$。在前一段上 $(x-1)(x-3)>0$，在后一段上 $(x-1)(x-3)<0$，所以 $S_1=|a|{\int }_0^1(x-1)(x-3)dx$，$S_2=|a|{\int }_1^3-(x-1)(x-3)dx$。

计算得 ${\int }_0^1(x-1)(x-3)dx=\frac{4}{3}$，且 ${\int }_1^3-(x-1)(x-3)dx=\frac{4}{3}$。因此 $S_1=S_2=\frac{4}{3}|a|$，命题得证。

沿用第一问的系数 $a$ 及两个积分区间。绕 $x$ 轴旋转时，体积由圆盘法给出：$V=\pi \int y^{2}dx$。

设两体积分别为 $V_1,V_2$，则

，

。

所以 $V_1:V_2=38:16=19:8$。