原函数定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$。在定义域内约去非零因子 $x+1$，得

约分不改变原定义域。$x\to -1$ 时 $f(x)\to \frac{1}{2}$，极限有限，所以 $x=-1$ 只是可去间断点，不是竖直渐近线。$x\to 1^{+}$ 时 $f(x)\to +\infty$，$x\to 1^{-}$ 时 $f(x)\to -\infty$，故 $x=1$ 是竖直渐近线。
当 $x\to \pm \infty$ 时，$f(x)\to 1$，故两个方向共同的水平渐近线为 $y=1$，只计一条。又 $\frac{f(x)}{x}\to 0$，没有非零斜率的斜渐近线。
因此共有 $2$ 条渐近线：$x=1$、$y=1$，选 C。