1997 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

已知函数

f (x)

连续，且

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 2

。设

φ (x) = \int_{0}^{1} f (x t) d t

，完成下列各问：

答案

$φ^{'} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x f ( x ) - \int _{0}^{x} f ( u ) d u}{x ^{2}}, 1, x \neq = 0, x = 0;$

$φ^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

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由 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 2$ 及 $f$ 连续，知 $f (0) = 0$ ，故 $φ (0) = 0$ 。当 $x \neq = 0$ 时，换元 $u = x t$ 得

φ (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (u) d u .

因此对 $x \neq = 0$ ，

φ^{'} (x) = \frac{x f ( x ) - \int _{0}^{x} f ( u ) d u}{x ^{2}} .

在零点，

φ^{'} (0) = x \to 0 lim \int_{0}^{1} \frac{f ( x t )}{x} d t = \int_{0}^{1} 2 t d t = 1.

这里由 $\frac{f ( s )}{s} \to 2$ 可对 $t \in [0, 1]$ 作一致估计，故极限交换成立。

由第一问的导数公式及 $φ^{'} (0) = 1$ ，当 $x \neq = 0$ 时，

φ^{'} (x) = \frac{f ( x )}{x} - \frac{1}{x ^{2}} \int_{0}^{x} f (u) d u .

第一项趋于 $2$ 。又由 $f (u) \sim 2 u$ ，可得 $\int_{0}^{x} f (u) d u \sim x^{2}$ ，故第二项趋于 $1$ 。

所以 $x \to 0 lim φ^{'} (x) = 2 - 1 = 1 = φ^{'} (0)$ ，即 $φ^{'}$ 在 $x = 0$ 处连续。