先在 $\cos x\ne 0$ 的区间上，$\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x-\sec x\tan x$。

积分得 $\tan x-\sec x+C=-\frac{\cos x}{1+\sin x}+C$。后一形式在所有 $1+\sin x\ne 0$ 的点均有定义。直接求导可验 ${\left(-\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{1+\sin x}$，所以结果在原被积函数的每个定义区间上都成立。