令 $u=2x+y$、$v=3x-y$。由链式法则，$g_x=2f_u+3f_v$、$g_y=f_u-f_v$。再求导并利用二阶偏导连续所给出的 $f_{uv}=f_{vu}$，得

其中所有 $f$ 的偏导在 $(u,v)=(2x+y,3x-y)$ 处取值。代入组合后，$f_{uu}$ 的系数为 $4+2-6=0$，$f_{vv}$ 的系数为 $9-3-6=0$，$f_{uv}$ 的系数为 $12+1+12=25$，故 $g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=25f_{uv}=1$。
换元矩阵行列式为 $-5\ne 0$，可以反解 $x=\frac{(u+v)}{5}$、$y=\frac{(3u-2v)}{5}$，所以得到 $f_{uv}(u,v)=\frac{1}{25}$。

用求导算子分解。在换元 $u=2x+y$、$v=3x-y$ 下，${\partial }_x=2{\partial }_u+3{\partial }_v$、${\partial }_y={\partial }_u-{\partial }_v$，于是 ${\partial }_x+3{\partial }_y=5{\partial }_u$、${\partial }_x-2{\partial }_y=5{\partial }_v$。因此

二阶偏导连续保证混合求导可交换，题设便化为 $25f_{uv}=1$，故 $f_{uv}=\frac{1}{25}$。

（1）由第一问 $f_{uv}=\frac{1}{25}$，固定 $u$ 对 $v$ 积分，得 $f_u=\frac{v}{25}+\phi (u)$。令 $v=0$，由 $f_u(u,0)=u{\mathrm{e}}^{-u}$ 得 $\phi (u)=u{\mathrm{e}}^{-u}$，故 $f_u=\frac{v}{25}+u{\mathrm{e}}^{-u}$。
（2）固定 $v$ 再对 $u$ 积分。其中分部积分给出 $\int u{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=-u{\mathrm{e}}^{-u}+\int {\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=-(u+1){\mathrm{e}}^{-u}+C$，所以

（3）令 $u=0$，得到 $f(0,v)=-1+\psi (v)=\frac{v^2}{50}-1$，故 $\psi (v)=\frac{v^2}{50}$。于是所求为 $f(u,v)=\frac{uv}{25}-(u+1){\mathrm{e}}^{-u}+\frac{v^2}{50}$。
对此式求导有 $f_u=\frac{v}{25}+u{\mathrm{e}}^{-u}$、$f_{uv}=\frac{1}{25}$，且 $f(0,v)=\frac{v^2}{50}-1$，满足全部条件。两次积分后的待定项分别是另一变量的函数，不能直接写成常数。