2014 · 数学二 · 第 6 题 · 选择题

设

u (x, y)

在平面有界闭区域

D

上连续，在

D

的内部具有二阶连续偏导数，且满足

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} \neq = 0, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = 0

，则（　　）。

A
$u (x, y)$ 的最大值点和最小值点必定都在区域 $D$ 的边界上
正确答案
B
$u (x, y)$ 的最大值点和最小值点必定都在区域 $D$ 的内部
C
$u (x, y)$ 的最大值点在区域 $D$ 的内部，最小值点在区域 $D$ 的边界上
D
$u (x, y)$ 的最小值点在区域 $D$ 的内部，最大值点在区域 $D$ 的边界上

答案

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$u$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，故一定能取得最大值和最小值。只需证明这些最值点不可能位于内部。
反设某个最大值点或最小值点 $P_{0}$ 是 $D$ 的内点，则它也是局部极值点。内部具有二阶连续偏导数，由极值必要条件， $u_{x} (P_{0}) = u_{y} (P_{0}) = 0$ ，所以 $P_{0}$ 是驻点。
在该点记 $A = u_{xx}$ 、 $B = u_{x y}$ 、 $C = u_{y y}$ 。题设给出 $C = - A$ 、 $B \neq = 0$ ，因此

A C - B^{2} = - A^{2} - B^{2} < 0.

由二阶判别法，这个驻点是鞍点，不能是极值点，与假设矛盾。因此最大值点和最小值点都只能在 $D$ 的边界上，选 A。
条件 $u_{x y} \neq = 0$ 保证判别式严格为负；若去掉它，仅靠上述二阶判别便可能无法排除内部最值点。例如常函数在内部和边界都取得最值。此时‘边界上能取到最值’与‘所有最值点只能在边界’是不同的结论。