1997 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设

A

为

n

阶非奇异矩阵，

α

为

n

维列向量，

b

为常数。记分块矩阵

P = (E - α^{T} A^{*} 0 ∣ A ∣), Q = (A α^{T} α b)

，其中

A^{*}

是矩阵

A

的伴随矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵。

答案

$P Q = (A 0 α ∣ A ∣ b - α^{T} A^{*} α) = (A 0 α ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α))$

证明见解析

逐块相乘得

P Q = (A - α^{T} A^{*} A + ∣ A ∣ α^{T} α - α^{T} A^{*} α + ∣ A ∣ b) .

利用伴随矩阵恒等式 $A^{*} A = ∣ A ∣ E$ ，左下块为零。又因 $A$ 可逆， $A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}$ ，所以右下块可化为 $∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α)$ 。

矩阵 $P$ 为分块下三角矩阵， $det P = ∣ A ∣ \neq = 0$ ，故 $P$ 可逆。因此 $Q$ 可逆当且仅当 $P Q$ 可逆。

由第（1）问所得分块上三角形式，

det (P Q) = ∣ A ∣^{2} (b - α^{T} A^{- 1} α) .

因为 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，该行列式非零当且仅当 $b - α^{T} A^{- 1} α \neq = 0$ 。

这与 $α^{T} A^{- 1} α \neq = b$ 等价，故条件充分且必要。