1992 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

求证：当

x \geq 1

时，

arctan x - \frac{1}{2} arccos \frac{2 x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}

。

答案

证明见解析

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令 $θ = arctan x$ 。由 $x \geq 1$ ，有 $θ \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，且

\frac{2 x}{1 + x ^{2}} = sin 2 θ .

因为 $2 θ \in [\frac{π}{2}, π)$ ，按 $arccos$ 的主值范围，

arccos (sin 2 θ) = 2 θ - \frac{π}{2} .

因此

arctan x - \frac{1}{2} arccos \frac{2 x}{1 + x ^{2}} = θ - \frac{1}{2} (2 θ - \frac{π}{2}) = \frac{π}{4},

命题得证。