$a=0.2$，$b=0.1$，$c=0.1$

$P\{Z=-2\}=0.2$，$P\{Z=-1\}=0.1$，$P\{Z=0\}=0.3$，$P\{Z=1\}=0.3$，$P\{Z=2\}=0.1$

$0.2$

由概率和为 $1$，得 $a+b+c+0.6=1$，即 $a+b+c=0.4$。

由 $EX=-0.2$，有 $-1(a+0.2)+1(0.1+c)=-0.2$，所以 $c-a=-0.1$。

条件概率给出 $\frac{a+b+0.1}{a+b+0.5}=0.5$，从而 $a+b=0.3$。

联立可得 $c=0.1$，再由 $c-a=-0.1$ 得 $a=0.2$，于是 $b=0.1$。

代入第一问求得的 $a=0.2,b=0.1,c=0.1$ 后，按 $Z=X+Y$ 汇总相同的取值。

$Z=-2$ 只来自 $(X,Y)=(-1,-1)$，所以 $P\{Z=-2\}=0.2$；$Z=-1$ 来自 $(0,-1)$，所以 $P\{Z=-1\}=0.1$。

$Z=0$ 来自 $(-1,1),(0,0),(1,-1)$，概率为 $0.2+0.1+0=0.3$。

$Z=1$ 来自 $(0,1),(1,0)$，概率为 $0.2+0.1=0.3$；$Z=2$ 只来自 $(1,1)$，概率为 $0.1$。

由 $Z=X+Y$，事件 $X=Z$ 等价于 $Y=0$。

代入第一问的 $b=0.1$，因此 $P\{X=Z\}=P\{Y=0\}=0+b+0.1=0.2$。