对实矩阵 $A$，$A^{\mathrm{T}}Ax=0$ 等价于 $Ax=0$：正向由 $x^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}Ax=\Vert Ax{\Vert }^2=0$ 得到，反向显然。因此 $r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)$，同理 $r(A{A}^{\mathrm{T}})=r(A)$，并且 $r(A^{\mathrm{T}})=r(A)$。

（1）A 成立。分块对角矩阵的秩等于对角块秩之和，故其秩为 $r(A)+r(A^{\mathrm{T}}A)=2r(A)$。

（2）B 成立。右乘可逆分块矩阵，得到

秩不变，故等于 $2r(A)$。

（3）D 成立。左乘可逆分块矩阵，得到

秩同样等于 $2r(A)$。

（4）C 不恒成立。取 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$，则 $r(A)=1$，$BA=\mathrm{diag}(0,1)$，$A{A}^{\mathrm{T}}=\mathrm{diag}(1,0)$。此时

前三行线性无关，故秩为 $3\ne 2r(A)$。所以不成立的是 C。不能因角块和主块都含 $A$ 就直接消去，矩阵乘法的左右次序必须匹配。