2016 · 数学三 · 第 12 题 · 填空题

区域由 $y = x$ 、 $y = - x$ 、 $y = 1$ 围成，顶点为 $(0, 0), (1, 1), (- 1, 1)$ 。改成先对 $x$ 积分，可写为 $0 \leq y \leq 1$ ， $- y \leq x \leq y$ 。被积函数连续，交换积分次序得

I = \int_{0}^{1} e^{- y^{2}} d y \int_{- y}^{y} x^{2} d x = \int_{0}^{1} e^{- y^{2}} [\frac{x ^{3}}{3}]_{- y}^{y} d y = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} y^{3} e^{- y^{2}} d y .

令 $u = y^{2}$ ，则 $y d y = \frac{d u}{2}$ ，所以 $I = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} u e^{- u} d u$ 。再分部积分，

\int_{0}^{1} u e^{- u} d u = [- u e^{- u}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- u} d u = 1 - \frac{2}{e} .

故 $I = \frac{( 1 - \frac{2}{e} )}{3} = \frac{( e - 2 )}{( 3 e )}$ 。也可利用关于 $y$ 轴的对称性，将内层写成 $2 \int_{0}^{y} x^{2} d x$ ；只取右半区域时必须乘 $2$ 。

答案