1999 · 数学一 · 第 11 题 · 解答题

设

y = y (x), z = z (x)

是由方程

z = x f (x + y)

和

F (x, y, z) = 0

所确定的函数，其中

f

和

F

分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

\frac{d z}{d x}

。

答案

$\frac{F _{y} [ f ( x + y ) + x f ^{'} ( x + y )] - x f ^{'} ( x + y ) F _{x}}{F _{y} + x f ^{'} ( x + y ) F _{z}}$ ，本式适用于可微分支上 $F_{y} + x f^{'} (x + y) F_{z} \neq = 0$ 的点，各偏导数均在 $(x, y, z)$ 处取值。

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记 $u = x + y$ 。对 $z = x f (u)$ 求导，得 $z^{'} = f (u) + x f^{'} (u) (1 + y^{'})$ 。

对 $F (x, y, z) = 0$ 求导，得 $F_{x} + F_{y} y^{'} + F_{z} z^{'} = 0$ 。

消去 $y^{'}$ ，可得 $z^{'} [F_{y} + x f^{'} (u) F_{z}] = F_{y} [f (u) + x f^{'} (u)] - x f^{'} (u) F_{x}$ 。在 $F_{y} + x f^{'} (u) F_{z} \neq = 0$ 的点，可得

z^{'} = \frac{F _{y} [ f ( u ) + x f ^{'} ( u )] - x f ^{'} ( u ) F _{x}}{F _{y} + x f ^{'} ( u ) F _{z}}, u = x + y .

其中各偏导数均在 $(x, y, z)$ 处取值。确定可微函数本身并不能推出上述分母非零；若分母为零，此除法公式不适用。