2012 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设

X, Y

相互独立且分别服从

N (μ, σ^{2})

与

N (μ, 2 σ^{2})

，其中

σ > 0

未知，设

Z = X - Y

。

(1) 求 $Z$ 的概率密度 $f (z, σ^{2})$ ；
(2) 设 $Z_{1}, \dots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的样本，求 $σ^{2}$ 的最大似然估计量 $σ^^{2}$ ；
(3) 证明 $σ^^{2}$ 为 $σ^{2}$ 的无偏估计量。

答案

第 1 问

$f (z, σ^{2}) = \frac{1}{6 π σ} e^{- \frac{z ^{2}}{( 6 σ ^{2} )}}$ ， $z \in R$ 。

第 2 问

$σ^{2} = \frac{1}{3 n} i = 1 \sum n Z_{i}^{2}$ 。

第 3 问

$E (σ^{2}) = σ^{2}$ ，故为无偏估计量。

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第 1 问

独立正态变量的线性组合仍服从正态分布。 $E (Z) = E (X) - E (Y) = 0$ ，独立性给出 $D (Z) = D (X) + D (Y) = 3 σ^{2}$ ，所以 $Z \sim N (0, 3 σ^{2})$ ，密度为 $f (z, σ^{2}) = (6 π σ)^{- 1} e^{- \frac{z ^{2}}{( 6 σ ^{2} )}}$ ， $z \in R$ 。

第 2 问

记 $v = σ^{2} > 0$ ， $Q = \sum z_{i}^{2}$ 。由独立同分布，似然为 $L (v) = (6 π v)^{- \frac{n}{2}} e^{- \frac{Q}{( 6 v )}}$ ，故

ℓ (v) = - \frac{n}{2} ln (6 π) - \frac{n}{2} ln v - \frac{Q}{6 v}, ℓ^{'} (v) = \frac{Q - 3 n v}{6 v ^{2}} .

当 $Q > 0$ 时，导数在 $\frac{Q}{( 3 n )}$ 前正后负，因此最大似然估计量为 $σ^{2} = \sum \frac{Z _{i}^{2}}{( 3 n )}$ 。 $Q = 0$ 是零概率事件，此时正参数空间无最大值，可将估计量在此处延拓为零。

第 3 问

由第一问， $E (Z_{i}^{2}) = D (Z_{i}) + [E (Z_{i})]^{2} = 3 σ^{2}$ 。利用期望的线性性，

E (σ^{2}) = \frac{1}{3 n} i = 1 \sum n E (Z_{i}^{2}) = \frac{n \cdot 3 σ ^{2}}{3 n} = σ^{2} .

该等式对所有 $σ^{2} > 0$ 成立，因此估计量无偏。