利用 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，有

$$\int x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int x\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int x\cos 2x\mathrm{d}x.$$

分部积分得 $\int x\cos 2x\mathrm{d}x=\frac{x\sin 2x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}$。因此原积分为

$$\frac{x^2}{4}-\frac{x\sin 2x}{4}-\frac{\cos 2x}{8}+C.$$