由 $f(-x)=f(x)$ 知 $f$ 为偶函数，因而 $f^{\prime }$ 为奇函数、$f^{\prime \prime }$ 为偶函数。

对任意 $x>0$，有 $-x<0$，所以 $f^{\prime }(x)=-f^{\prime }(-x)<0$，而 $f^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(-x)<0$。故选择 C。