矩阵 $A^{T}A$ 为实对称矩阵，故 $B=\lambda E+A^{T}A$ 也是实对称矩阵。

对任意非零列向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$，

因 $\lambda >0$ 且 $x\ne 0$，右端严格大于 $0$。因此 $B$ 为正定矩阵。