记 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$、$Q=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$。对 $P$ 的第三行依次减第一、二行，得

所以 $\alpha$ 组秩为 $3$。对 $Q$ 的第二、三行分别减第一行，得

若 $a\ne 5$，则 $Q$ 可逆，任意三维向量都可由其列向量表示，与题设矛盾，故 $a=5$。此时 ${\beta }_3=2{\beta }_1+{\beta }_2$，且 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 无关，$\beta$ 组秩为 $2$，不能表示秩为 $3$ 的 $\alpha$ 组，故该值确实满足条件。

$P$ 可逆，表示存在且唯一。代入 $a=5$，同时对三个右端消元：

第三行依次减第一、二行，变为 $(0,0,1\mid -1,0,-2)$；再由第一行减第三行、第二行减第三行的三倍，得到

右侧各列就是表示系数，因此

按分量相加分别得到 $(1,1,1{)}^T,(1,2,3{)}^T,(3,4,5{)}^T$，也与 ${\beta }_3=2{\beta }_1+{\beta }_2$ 一致。