记$I(x)={\int }_0^x\ln (1+t^2)\mathrm{d}t$，则$F(x)=\frac{I(x)}{x^a}$。
（1）考察$x\to 0^{+}$。由洛必达法则，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{I(x)}{x^3}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+x^2)}{(3x^2)}=\frac{1}{3}$，故$F(x)\sim \frac{x^{3-a}}{3}$。要使极限为$0$，必须且只需$a<3$；$a=3$时极限为$\frac{1}{3}$，$a>3$时为$+\infty$。
（2）考察$x\to +\infty$。对$x>1$，$I(x)\ge (x-1)\ln 2\to +\infty$。若$a\le 0$，则$x^a\le 1$，所以$F(x)\to +\infty$，不符合要求。以下设$a>0$，对$\frac{\infty }{\infty }$型用洛必达法则，得

若$0<a<1$，右侧分母趋于$0^{+}$、分子趋于$+\infty$；若$a=1$，分母恒为$1$。这两种情形的极限都为$+\infty$。
若$a>1$，再次对$\frac{\infty }{\infty }$型用洛必达法则：

因为$\frac{x^{3-a}}{(1+x^2)}\sim x^{1-a}\to 0$。故无穷远处的条件恰为$a>1$。
（3）两条件取交集，所求范围为$1<a<3$。

零点附近仍由$\ln (1+t^2)\sim t^2$得$I(x)\sim \frac{x^3}{3}$，故需要$a<3$。在无穷远处可用分部积分明确增长阶：

于是$F(x)\sim 2\frac{\ln x}{x^{a-1}}$。当$a\le 1$时该量趋于$+\infty$；当$a>1$时，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^{a-1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{[(a-1)x^{a-1}]}=0$。因此仍需$a>1$，结合得$1<a<3$。