1998 · 数学三 · 第 4 题 · 填空题

设

A, B

均为

n

阶矩阵，

∣ A ∣ = 2, ∣ B ∣ = - 3

，则

∣2 A^{*} B^{- 1} ∣ =

。

答案

$- \frac{2 ^{2 n - 1}}{3}$

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由 $∣ B ∣ = - 3 \neq = 0$ ，矩阵 $B$ 可逆。对 $n$ 阶矩阵，有 $∣ c M ∣ = c^{n} ∣ M ∣$ 、 $∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}$ 以及 $∣ B^{- 1} ∣ = ∣ B ∣^{- 1}$ 。

因此

∣ 2 A^{*} B^{- 1} ∣ = 2^{n} ∣ A ∣^{n - 1} ∣ B ∣^{- 1} = 2^{n} \cdot 2^{n - 1} \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{2 ^{2 n - 1}}{3} .