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n
阶方阵
A
满足矩阵方程
A
2
−
3
A
−
2
E
=
O
，其中
A
是给定的，
E
是单位矩阵。
(1) 证明
A
可逆；
(2) 求出其逆矩阵
A
−
1
。
答案
第 1 问
证明见解析
第 2 问
A
−
1
=
2
1
(
A
−
3
E
)
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第 1 问
由
A
2
−
3
A
−
2
E
=
O
得
A
2
−
3
A
=
2
E
。令
B
=
2
1
(
A
−
3
E
)
.
则
A
B
=
2
1
(
A
2
−
3
A
)
=
E
,
B
A
=
2
1
(
A
2
−
3
A
)
=
E
.
所以
B
是
A
的双侧逆矩阵，故
A
可逆。
第 2 问
由第（1）问中的恒等式
A
⋅
2
1
(
A
−
3
E
)
=
2
1
(
A
−
3
E
)
⋅
A
=
E
,
可得
A
−
1
=
2
1
(
A
−
3
E
)
。