2002 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} cos \frac{x}{2}, 0, 0 \leq x \leq π, 其他 .

。对

X

独立地重复观察

4

次，用

Y

表示观察值大于

\frac{π}{3}

的次数，求

Y^{2}

的数学期望。

答案

$5$

一次观察值大于 $\frac{π}{3}$ 的概率为

p = \int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{1}{2} cos \frac{x}{2} d x = sin \frac{π}{2} - sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} .

四次独立观察中成功次数 $Y \sim Bin (4, \frac{1}{2})$ ，所以 $E (Y) = 2$ 、 $Var (Y) = 1$ 。

因此 $E (Y^{2}) = Var (Y) + [E (Y)]^{2} = 1 + 4 = 5$ 。