1987 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

求不定积分

\int \frac{x d x}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 5}

。

答案

$\frac{1}{4} arctan \frac{x ^{2} + 1}{2} + C$

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分母可写成

x^{4} + 2 x^{2} + 5 = (x^{2} + 1)^{2} + 4.

令 $u = x^{2} + 1$ ，则 $d u = 2 x d x$ 。

因此

\int \frac{x d x}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 5} = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u ^{2} + 4} = \frac{1}{4} arctan \frac{u}{2} + C = \frac{1}{4} arctan \frac{x ^{2} + 1}{2} + C .