2000 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

设

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{n} x cos x d x, n = 0, 1, 2, \dots

，求

n = 0 \sum \infty I_{n}

。

答案

$ln (2 + 2)$

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直接积分得 $I_{n} = [\frac{sin ^{n + 1} x}{( n + 1 )}]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{2 ^{- \frac{( n + 1 )}{2}}}{( n + 1 )}$ 。

令 $r = \frac{1}{2}$ ，则

n = 0 \sum \infty I_{n} = k = 1 \sum \infty \frac{r ^{k}}{k} = - ln (1 - r) = ln (2 + 2) .