记 $F(x)=\frac{\sin x}{x}$，则 $f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。

分部积分得

由 $\pi f(\pi )=-1$、$\frac{\pi }{2}f(\frac{\pi }{2})=-\frac{2}{\pi }$、$F(\pi )=0$、$F(\frac{\pi }{2})=\frac{2}{\pi }$，所求积分为 $-1+\frac{2}{\pi }+\frac{2}{\pi }=\frac{4}{\pi }-1$。