2019 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X, Y

相互独立，

X

服从参数为

1

的指数分布，

Y

的概率分布为

P {Y = - 1} = p

，

P {Y = 1} = 1 - p (0 < p < 1)

，令

Z = X Y

。

(1) 求 $Z$ 的概率密度；
(2) $p$ 为何值时， $X$ 与 $Z$ 不相关；
(3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立。

答案

第 1 问

f_{Z} (z) = {p e^{z}, (1 - p) e^{- z}, z < 0, z \geq 0.

第 2 问

$p = \frac{1}{2}$ 。

第 3 问

对任意 $0 < p < 1$ ， $X, Z$ 均不相互独立。

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第 1 问

$X$ 为参数 $1$ 的指数分布， $X > 0$ 几乎必然，且 $P {X > x} = e^{- x}$ （ $x \geq 0$ ）。按 $Y$ 的两个取值分解并使用独立性，得

F_{Z} (z) = pP {X \geq - z} + (1 - p) P {X \leq z} .

若 $z < 0$ ，第二项为零，第一项为 $p e^{z}$ ；若 $z \geq 0$ ，第一项为 $p$ ，第二项为 $(1 - p) (1 - e^{- z})$ 。所以

F_{Z} (z) = {p e^{z}, 1 - (1 - p) e^{- z}, z < 0, z \geq 0.

左右在 $0$ 处都为 $p$ ，没有点质量。分段求导，可取密度

f_{Z} (z) = {p e^{z}, (1 - p) e^{- z}, z < 0, z \geq 0.

零点密度取值不影响分布，两半轴上的密度积分分别为 $p$ 和 $1 - p$ 。

第 2 问

由指数分布， $E (X) = 1$ 、 $Var (X) = 1$ ，故 $E (X^{2}) = 2$ 。另有 $E (Y) = 1 - 2 p$ 。由于 $X, Y$ 独立，

E (Z) E (X Z) = E (X) E (Y) = 1 - 2 p, = E (X^{2}) E (Y) = 2 (1 - 2 p) .

因此

Cov (X, Z) = E (X Z) - E (X) E (Z) = 2 (1 - 2 p) - (1 - 2 p) = 1 - 2 p .

令其为零，得 $p = \frac{1}{2}$ 。两方差均为正： $Var (X) = 1$ ，且 $Z^{2} = X^{2}$ ，故 $Var (Z) = 2 - (1 - 2 p)^{2} > 0$ ，相关系数确有定义。

第 3 问

对任意 $0 < p < 1$ ，取事件 $A = {X \leq 1}$ 、 $B = {Z \leq - 1}$ 。由于 $X > 0$ ，事件 $B$ 要求 $Y = - 1$ 且 $X \geq 1$ ，故 $A \cap B$ 只能在 $X = 1$ 时发生。 $X$ 连续，所以 $P (A \cap B) = 0$ 。
另一方面，

P (A) = 1 - e^{- 1} > 0, P (B) = p e^{- 1} > 0.

因此 $P (A \cap B) \neq = P (A) P (B)$ ，两变量不独立。特别地， $p = \frac{1}{2}$ 时虽然不相关，仍然不独立；恒等关系 $∣ Z ∣ = X$ 保留了非线性依赖。