切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x-\frac{y}{y^{\prime }}$。因 $y^{\prime }>0$ 且 $y(0)=1$，故 $y>0$，从而 $S_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{y^{\prime }}\cdot y=\frac{y^2}{2y^{\prime }}$，而 $S_2={\int }_0^{x}y(t)dt$。

条件化为 $\frac{y^2}{y^{\prime }}-{\int }_0^{x}y(t)dt=1$。令 $x=0$ 得 $y^{\prime }(0)=1$。

对恒等式求导得 $y{y}^{\prime \prime }=(y^{\prime }{)}^2$，即 ${\left(\frac{y^{\prime }}{y}\right)}^{\prime }=0$。因此 $y^{\prime }=Cy$。由 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=1$ 得 $C=1$，所以 $y=e^x$。

检验：$2S_1=e^x$，$S_2=e^x-1$，二者之差恒为 $1$。