（1）特征方程为 $r^3-1=0$。利用立方差公式分解为 $(r-1)(r^2+r+1)=0$。实根为 $r_1=1$；二次因子的判别式为 $-3$，另外两根为

（2）实根对应 ${\mathrm{e}}^x$；共轭复根对应 ${\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}\cos (\frac{\sqrt{3}x}{2})$ 和 ${\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}\sin (\frac{\sqrt{3}x}{2})$。三个根相异，这三个实值解线性无关，构成三阶方程的基本解组，因此通解为

（3）核对：${\mathrm{e}}^x$ 显然满足 $y^{\prime \prime \prime }=y$。对 $r=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$，因 $r^3=1$，有 $({\mathrm{e}}^{rx}{)}^{\prime \prime \prime }=r^3{\mathrm{e}}^{rx}={\mathrm{e}}^{rx}$。方程系数为实数，复值解的实部、虚部分别满足该方程，恰为上面两个三角函数解。