若 $|A|\ne 0$，方程组有唯一解，与题设无解矛盾，故必须 $|A|=0$。按第一行展开，得

候选值为 $a=0$ 或 $a=2$，须分别检验相容性。
当 $a=2$ 时，对增广矩阵作 $r_2\leftarrow r_2-r_1$、$r_3\leftarrow r_3-3r_1$，再作 $r_3\leftarrow r_3-2r_2$，得

两秩均为 $2$，方程组有解，排除。
当 $a=0$ 时，$A$ 的第一、三行均为 $(1,1,1)$，但右端分别为 $0,-2$，相减给出矛盾式 $0=-2$，确无解。因此 $a=0$。

代入 $a=0$，有

直接相乘得

法方程的增广矩阵中，第三行减第二行；第一行减第二行；第二行再减新的第一行的两倍并除以 $2$，得

故同解方程组为 $x_1=1,x_2+x_3=-2$。令 $x_3=k$，得到全部解

其中特解代入得到 $(-1,-2,-2{)}^T$，方向向量代入得到零向量。原方程无解不妨碍法方程有解。