2014 · 数学三 · 第 10 题 · 填空题

设

D

是由曲线

x y + 1 = 0

与直线

y + x = 0, y = 2

围成的有界区域，则

D

的面积为。

答案

$\frac{3}{2} - ln 2$

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双曲线 $x y = - 1$ 与直线 $y = - x$ 交于 $(- 1, 1), (1, - 1)$ ；与 $y = 2$ 交于 $(- \frac{1}{2}, 2)$ ，而两条直线交于 $(- 2, 2)$ 。三条边界围成的有界区域在第二象限，其边界顶点为 $(- 1, 1), (- 2, 2), (- \frac{1}{2}, 2)$ 。
固定 $1 \leq y \leq 2$ ，左边界为 $x = - y$ ，右边界为 $x = - \frac{1}{y}$ ，且 $- y \leq - \frac{1}{y}$ 。故面积

S = \int_{1}^{2} (y - \frac{1}{y}) d y = [\frac{y ^{2}}{2} - ln y]_{1}^{2} = \frac{3}{2} - ln 2.

按竖直截线计算时需在 $x = - 1$ 分段： $- 2 \leq x \leq - 1$ 的下界为 $y = - x$ ， $- 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}$ 的下界为 $y = - \frac{1}{x}$ ，两段上界均为 $y = 2$ 。于是

S = \int_{- 2}^{- 1} (2 + x) d x + \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} (2 + \frac{1}{x}) d x = \frac{1}{2} + [2 x + ln ∣ x ∣]_{- 1}^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + 1 - ln 2 = \frac{3}{2} - ln 2.