2002 · 数学一 · 第 14 题 · 解答题

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有一阶连续导数，

L

是上半平面

(y > 0)

内起点为

(a, b)

、终点为

(c, d)

的有向分段光滑曲线。记

I = \int_{L} \frac{1}{y} [1 + y^{2} f (x y)] d x + \frac{x}{y ^{2}} [y^{2} f (x y) - 1] d y

。

(1) 证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
(2) 当 $ab = c d$ 时，求 $I$ 的值。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

$\frac{c}{d} - \frac{a}{b}$

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第 1 问

在上半平面定义 $Φ (u) = \int_{0}^{u} f (t) d t$ ，则 $Φ^{'} (u) = f (u)$ 。令 $F (x, y) = \frac{x}{y} + Φ (x y)$ 。

$F_{x} = \frac{1}{y} + y f (x y) = \frac{1}{y} [1 + y^{2} f (x y)]$ ，且 $F_{y} = - \frac{x}{y ^{2}} + x f (x y) = \frac{x}{y ^{2}} [y^{2} f (x y) - 1]$ 。

题给曲线积分的被积微分形式正是 $d F$ ，所以 $I = F (c, d) - F (a, b)$ ，只由起点和终点决定，与路径 $L$ 无关。

第 2 问

由第一问的势函数， $I = \frac{c}{d} + Φ (c d) - \frac{a}{b} - Φ (ab)$ 。

当 $ab = c d$ 时， $Φ (c d) = Φ (ab)$ ，故 $I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$ 。