对 $f$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

对 $f(x)$ 与 ${\mathrm{e}}^x$ 应用柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使

合并两式，并利用题设 $f^{\prime }(\eta )\ne 0$，可得 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(\eta )}=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}{\mathrm{e}}^{-\eta }$，证毕。