二次型矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 0& 4& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$。按第二行展开特征行列式，得

特征值为 $2,4,4$。对 $2$，$(A-2E)x=0$ 给出 $x_2=0,x_1+x_3=0$，取 ${\xi }_1=(-1,0,1{)}^T$。对 $4$，$(A-4E)x=0$ 等价于 $x_1-x_3=0$，取基础解系 ${\xi }_2=(1,0,1{)}^T,{\xi }_3=(0,1,0{)}^T$。两向量已正交，且均与 ${\xi }_1$ 正交。
分别单位化，取 $Q=(\frac{{\xi }_1}{\sqrt{2}},\frac{{\xi }_2}{\sqrt{2}},{\xi }_3)$。则 $Q^{T}Q=E,Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(2,4,4)$，所以正交变换 $x=Qy$ 将二次型化为 $2y_1^2+4y_2^2+4y_3^2$。

对任意 $x\ne 0$，令 $y=Q^{T}x$。因 $Q$ 可逆，$y\ne 0$；又由正交性，$x^{T}x=y^T{Q}^{T}Qy=y^{T}y>0$。故

等号成立当且仅当 $y_2=y_3=0$，且 $y_1\ne 0$。例如取 $y=(1,0,0{)}^T$ 即能取等；对应 $x$ 为 $(-1,0,1{)}^T$ 的非零倍数。因此下界可以达到，所求最小值为 $2$。