（1）乘积分因子。原方程是一阶线性非齐次方程，$P(x)=1$，取积分因子 $\mu (x)={\mathrm{e}}^{\int 1\mathrm{d}x}={\mathrm{e}}^x$。因 ${\mathrm{e}}^x>0$，两边同乘它不改变解集，得到

（2）积分并利用初值。积分得 ${\mathrm{e}}^{x}y=\sin x+C$，即 $y={\mathrm{e}}^{-x}(\sin x+C)$。代入 $y(0)=0$ 得 $C=0$，所以 $y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x$。

（3）回代核对。由该式有 $y^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}\sin x+{\mathrm{e}}^{-x}\cos x$，因此 $y^{\prime }+y={\mathrm{e}}^{-x}\cos x$，且 $y(0)=0$，满足方程及初值。