记题给矩阵为 $M$。若 $X$ 与 $M$ 相似，则 $X-E$ 与 $M-E$ 也相似，必有 $r(X-E)=r(M-E)$。题给 $M-E=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 的秩为 $2$。
四个选项各自减去 $E$ 后，秩依次为 $2,1,1,1$：A 项的前两行线性无关；B 项仅第三列非零，C、D 项仅第一行非零。因此 B、C、D 均与 $M$ 不相似。
为确认 A 项确实相似，记它为 $X$，$N=X-E$。取 $v=(0,0,1{)}^T$，则 $Nv=(-1,1,0{)}^T$，$N^{2}v=(1,0,0{)}^T$，$N^{3}v=0$。令

$|P|=1\ne 0$，且 $NP=(0,N^{2}v,Nv)=P(M-E)$，所以 $XP=PM$，即 $P^{-1}XP=M$。故选 A。此处先用秩排除，再构造可逆矩阵确认，不能一般地把秩相等直接当成相似的充分条件。