记 $a_n={\tan }^n(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n})$。当 $n$ 足够大时底数为正。先求 $\ln a_n$ 的极限，并令 $u=\frac{2}{n}$，则

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }\ln a_n& =\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln \tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n}\right)\\ & =2\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \tan (\frac{\pi }{4}+u)}{u}.\end{array}$$

由于

$${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\ln \tan \left(\frac{\pi }{4}+u\right)|}_{u=0}=2,$$

故 $\underset{n\to \infty }{\lim }\ln a_n=4$。由指数函数的连续性，原极限为 ${\mathrm{e}}^4$。