当 $x\to 0$ 时，

$${\mathrm{e}}^x-1=x+\frac{x^2}{2}+O(x^3).$$

因而

$$\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}=\frac{1}{x}{\left(1+\frac{x}{2}+O(x^2)\right)}^{-1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+O(x).$$

所以

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}=\frac{1}{2}+O(x)⟶\frac{1}{2}.$$