1998 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

某酒厂有一批新酿的好酒，若现在（假定

t = 0

）售出，总收入为

R_{0}

元；若窖藏到

t

年末按陈酒价格出售，总收入为

R = R_{0} e^{\frac{2}{5} t}

。银行年利率为

r

，并以连续复利计息。完成下列各问：

答案

当 $r > 0$ 时，最优窖藏年数为 $t = \frac{1}{25 r ^{2}}$

$t = \frac{100}{9}$ 年

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在 $t \geq 0$ 时出售所得收入的现值为 $P (t) = R_{0} e^{(\frac{2}{5}) t} e^{- r t} = R_{0} e^{(\frac{2}{5}) t - r t}$ 。

当 $r > 0$ 时，只需最大化 $g (t) = \frac{2}{5} t - r t$ 。对 $t > 0$ ， $g^{'} (t) = \frac{1}{5 t} - r$ ，唯一驻点为 $t = \frac{1}{25 r ^{2}}$ 。

又 $g^{''} (t) = - \frac{1}{10 t ^{\frac{3}{2}}} < 0$ ，且 $g (t) \to - \infty$ 当 $t \to \infty$ ，故该驻点给出全局最大值。若 $r = 0$ ，现值随 $t$ 增大而增大，不存在有限的最优窖藏年数。

在第一问的最优年数公式中代入 $r = 0.06 = \frac{3}{50}$ ，得 $t = \frac{1}{25 ( \frac{3}{50} ) ^{2}} = \frac{100}{9}$ 年。

题目采用连续变量模型；若另行要求只能在整数年末出售，则比较相邻整数可得最优为第 $11$ 年末。