2003 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，且

n \to \infty lim a_{n} = 0

，

n \to \infty lim b_{n} = 1

，

n \to \infty lim c_{n} = \infty

，则必有（　　）。

答案

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由 $b_{n} \to 1$ ，存在某个 $N$ 使得 $n \geq N$ 时 $b_{n} > \frac{1}{2}$ 。又因 $c_{n} \to + \infty$ ，故 $b_{n} c_{n} \to + \infty$ 。

所以 $n \to \infty lim b_{n} c_{n}$ 不存在有限的实数极限，选 D。其余选项均可由有限个初值或不同的 $a_{n}$ 构造反例。