2012 · 数学三 · 第 7 题 · 选择题

设

X, Y

相互独立且均服从

(0, 1)

上均匀分布，则

P {X^{2} + Y^{2} \leq 1} =

（　　）。

答案

查看解析展开

由独立性及两个均匀密度，联合密度在单位正方形 $(0, 1)^{2}$ 内为 $1$ ，外部为 $0$ 。故所求概率等于事件区域 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ 与该正方形公共部分的面积。
该部分除去不影响面积的边界，就是半径 $1$ 的第一象限四分之一圆盘，所以

P {X^{2} + Y^{2} \leq 1} = \frac{1}{4} π \times 1^{2} = \frac{π}{4} .

故选 D。区域是圆盘，不能误用 $x + y \leq 1$ 的三角形面积，也不能使用整个圆的面积。

直接写累次积分并令 $x = sin t$ ：

P {X^{2} + Y^{2} \leq 1} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x^{2}} 1 d y d x = \int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2} t d t = [\frac{t}{2} + \frac{sin 2 t}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4} .