2010 · 数学一 · 第 4 题 · 选择题

n \to \infty lim i = 1 \sum n j = 1 \sum n \frac{n}{( n + i ) ( n ^{2} + j ^{2} )} =

（　　）。

A
$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{( 1 + x ) ( 1 + y ^{2} )} d y$
B
$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{( 1 + x ) ( 1 + y )} d y$
C
$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{( 1 + x ) ( 1 + y )} d y$
D
$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{( 1 + x ) ( 1 + y ^{2} )} d y$
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答案

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分母分别提出 $n$ 与 $n^{2}$ ，通项化为

\frac{n}{( n + i ) ( n ^{2} + j ^{2} )} = \frac{1}{n ^{2}} \frac{1}{( 1 + \frac{i}{n} ) [ 1 + ( \frac{j}{n} ) ^{2} ]} .

把 $D = [0, 1]^{2}$ 等分为 $n^{2}$ 个小正方形，每格面积为 $\frac{1}{n ^{2}}$ ，取右上角 $(\frac{i}{n}, \frac{j}{n})$ 为样点。函数 $F (x, y) = \frac{1}{[( 1 + x ) ( 1 + y ^{2} )]}$ 在 $D$ 上连续，所以题给和式是其二重积分的黎曼和，极限为

\iint_{D} F (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{d y}{( 1 + x ) ( 1 + y ^{2} )} = ln 2 \cdot \frac{π}{4} .

故选 D。两个指标各自独立遍历 $1, \dots, n$ ，对应完整正方形；A、B 的内层上限 $x$ 对应三角形区域，均不符。C 把 $1 + y^{2}$ 改为 $1 + y$ ，其对应分母因子应为 $n^{2} + nj$ ，也不符。

利用被积表达式可分离，原和式可写为

\frac{1}{n} i = 1 \sum n \frac{1}{1 + \frac{i}{n}} \frac{1}{n} j = 1 \sum n \frac{1}{1 + ( \frac{j}{n} ) ^{2}} .

两个因子分别是一元积分的黎曼和，极限依次为 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = ln 2$ 和 $\int_{0}^{1} \frac{d y}{1 + y ^{2}} = \frac{π}{4}$ 。故原极限为 $π \frac{ln 2}{4}$ ，对应选项 D。此分离利用了两个求和指标的范围彼此独立。