由全微分系数比较得 $f_u(1,1)=3$、$f_v(1,1)=4$。令 $u=\cos x$、$v=1+x^2$，则 $x=0$ 对应 $(u,v)=(1,1)$。
内层导数为 $u^{\prime }=-\sin x$、$u^{\prime \prime }=-\cos x$、$v^{\prime }=2x$、$v^{\prime \prime }=2$，所以 $u^{\prime }(0)=v^{\prime }(0)=0$、$u^{\prime \prime }(0)=-1$、$v^{\prime \prime }(0)=2$。
先由链式法则写出 $y^{\prime }=f_u{u}^{\prime }+f_v{v}^{\prime }$，再对两项分别使用乘积法则和链式法则，并利用 $f_{uv}=f_{vu}$，得到

在 $x=0$ 处，前三项都因 $u^{\prime }=v^{\prime }=0$ 而消失，故 $y^{\prime \prime }(0)=3(-1)+4\times 2=5$。这说明本题虽求二阶导数，却只需给定点处的一阶偏导；不能在一般点直接省略上述前三项。