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设二次型在正交变换下的标准形为，则其矩阵的行列式与迹分别为（　　）。
  1. A
  2. B
  3. C
    正确答案
  4. D

答案

C

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设正交变换为 ，则 。由 ，这也是相似变换，所以 的全部特征值为 。
行列式等于特征值之积，迹等于特征值之和，因此

故选 C。这里必须使用“正交”条件；一般可逆变换只保持惯性指数，不能由标准形系数直接求出迹。