2005 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

如图，

C_{1}, C_{2}

分别是

y = \frac{1}{2} (1 + e^{x})

和

y = e^{x}

的图象，过点

(0, 1)

的曲线

C_{3}

在第一象限内是一连续严格单调增函数的图象，其反函数

x = ϕ (y)

在

[1, + \infty)

上连续且严格递增，并满足

ϕ (1) = 0

以及

0 < ϕ (y) < ln y

（

y > 1

）。过

C_{2}

上横坐标大于零的任一点

M (x, y)

分别作垂直于

x

轴和

y

轴的直线

l_{x}, l_{y}

。记

C_{1}, C_{2}, l_{x}

所围图形的面积为

S_{1} (x)

；

C_{2}, C_{3}, l_{y}

所围图形的面积为

S_{2} (y)

。如果总有

S_{1} (x) = S_{2} (y)

，求曲线

C_{3}

的方程

x = ϕ (y)

。

答案

$x = ϕ (y) = ln y - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 y}$ （ $y \geq 1$ ）

查看解析展开

点 $M$ 在 $C_{2}$ 上，故 $y = e^{x}$ ，其中 $x > 0$ 。两曲线在 $(0, 1)$ 相交，且正半轴上 $C_{2}$ 位于 $C_{1}$ 上方，于是

S_{1} (x) = \int_{0}^{x} \frac{e ^{t} - 1}{2} d t = \frac{e ^{x} - 1 - x}{2} .

由题设 $0 < ϕ (u) < ln u$ （ $u > 1$ ），在高度 $u$ 处两曲线的横向距离为 $ln u - ϕ (u)$ 。因此

S_{2} (e^{x}) = \int_{1}^{e^{x}} (ln u - ϕ (u)) d u .

被积函数连续，对面积恒等式求导得

\frac{e ^{x} - 1}{2} = e^{x} (x - ϕ (e^{x})) .

整理并令 $y = e^{x}$ ，再由 $ϕ$ 在 $1$ 处连续，得到

x = ϕ (y) = ln y - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 y}, y \geq 1.

该函数满足 $ϕ (1) = 0$ 、 $ϕ^{'} (y) = \frac{( 2 y - 1 )}{( 2 y ^{2} )} > 0$ ，故 $y > 1$ 时 $ϕ (y) > 0$ ；又有 $ln y - ϕ (y) = \frac{( y - 1 )}{( 2 y )} > 0$ 。代回面积式，

S_{2} (y) = \int_{1}^{y} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 u}) d u = \frac{y - 1 - ln y}{2} = S_{1} (ln y),

故所得曲线满足全部条件。