2015 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2^{- x} ln 2, 0, x > 0, x \leq 0,

。对

X

进行独立重复观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记

Y

为观测次数。

(1) 求 $Y$ 的概率分布；
(2) 求 $E Y$ 。

答案

第 1 问

$P {Y = n} = \frac{n - 1}{64} (\frac{7}{8})^{n - 2}$ ， $n = 2, 3, \dots$ 。

第 2 问

$16$

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第 1 问

将一次观测大于 $3$ 称为成功。成功概率为

p = P {X > 3} = \int_{3}^{+ \infty} 2^{- x} ln 2 d x = [- 2^{- x}]_{3}^{+ \infty} = \frac{1}{8} .

各次观测独立，所以每次失败概率为 $q = \frac{7}{8}$ 。 $Y = n$ 要求第 $n$ 次成功，且前 $n - 1$ 次中恰有一次成功；那次成功的位置有 $n - 1$ 种选择。因此

P {Y = n} = (1 n - 1) p^{2} q^{n - 2} = \frac{n - 1}{64} (\frac{7}{8})^{n - 2}, n = 2, 3, \dots .

它是第二次成功所需总次数的负二项分布。由 $n = 2 \sum \infty (n - 1) q^{n - 2} = (1 - q)^{- 2}$ ，总概率为 $\frac{p ^{2}}{( 1 - q ) ^{2}} = 1$ 。末次成功位置已固定，组合数不能写为 $(1 n)$ 。

第 2 问

把 $Y$ 分成到第一次成功的等待次数 $Y_{1}$ ，以及从第一次成功后到第二次成功的等待次数 $Y_{2}$ 。独立重复试验保证两段都服从成功概率 $p = \frac{1}{8}$ 的几何分布，各自均值为 $\frac{1}{p} = 8$ 。由 $Y = Y_{1} + Y_{2}$ 及期望线性性， $E (Y) = 8 + 8 = 16$ 。

也可直接从分布律求和。因 $∣ q ∣ < 1$ ，对几何级数逐项求导两次，得

n = 2 \sum \infty n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{d ^{2}}{d q ^{2}} \frac{1}{1 - q} = \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}} .

于是

E (Y) = p^{2} n = 2 \sum \infty n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2 p ^{2}}{p ^{3}} = \frac{2}{p} = 16.