（1）先配方$2x-x^2=1-(x-1{)}^2$，令$x=1+\sin \theta$，$\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，则$\mathrm{d}x=\cos \theta \mathrm{d}\theta$，$\sqrt{2x-x^2}=|\cos \theta |=\cos \theta$。这里余弦在所选区间非负，去绝对值合法。
（2）原积分变为

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sin \theta ){\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta ,\end{array}$$

因为$\sin \theta {\cos }^2\theta$为奇函数，在对称区间积分为零。余下部分由偶性和倍角公式，$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )\mathrm{d}\theta =[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}$。

令$u=x-1$，则

$$I={\int }_{-1}^1(1+u)\sqrt{1-u^2}\mathrm{d}u={\int }_{-1}^1\sqrt{1-u^2}\mathrm{d}u.$$

其中$u\sqrt{1-u^2}$为奇函数，其积分为零。剩余积分表示单位上半圆面积，所以$I=\frac{\pi }{2}$。