（1）化为齐次方程。原方程的对数要求 $x>0$、$y>0$。由 $\ln x-\ln y=-\ln (\frac{y}{x})$，原式可写为 $y^{\prime }=(\frac{y}{x})\ln (\frac{y}{x})$，右端仅依赖比值 $\frac{y}{x}$。

（2）换元并分离变量。令 $u=\frac{y}{x}>0$，即 $y=xu$，则 $y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$，代入得

初值给出 $u(1)={\mathrm{e}}^3$，故初值附近 $\ln u-1>0$，可分离为 $\frac{\mathrm{d}u}{[u(\ln u-1)]}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$。再令 $v=\ln u-1$，有 $\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}u}{u}$，积分得到

即 $\ln (\frac{y}{x})-1=Cx$。分离时排除的常值 $u=\mathrm{e}$ 不满足本题初值。

（3）确定常数并回代。由 $y(1)={\mathrm{e}}^3$ 得 $C=2$，故 $\ln (\frac{y}{x})=2x+1$，于是 $y=x{\mathrm{e}}^{2x+1}$，$x>0$。此时 $v=2x>0$，与分离所取分支一致。

（4）核对方程。由 $y^{\prime }=(1+2x){\mathrm{e}}^{2x+1}$、$\ln x-\ln y=-(2x+1)$，有

并且 $y(1)={\mathrm{e}}^3$，满足初值。