由牛顿–莱布尼茨公式，$\ln (1+\frac{1}{n})=\ln (n+1)-\ln n={\int }_n^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}$。对 $n<t<n+1$，有 $\frac{1}{(n+1)}<\frac{1}{t}<\frac{1}{n}$。这些函数在闭区间连续，且内部严格不等，积分后得到

即 $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$，对任意正整数 $n$ 成立。

对 $\ln t$ 在 $[n,n+1]$ 上使用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (n,n+1)$，使 $\ln (n+1)-\ln n=\frac{1}{\xi }$。由 $n<\xi <n+1$，得到 $\frac{1}{(n+1)}<\frac{1}{\xi }<\frac{1}{n}$，即所需不等式。

由第（1）问的左侧不等式，作差得

所以数列严格递减。
再由第（1）问的右侧不等式，对 $k=1,\dots ,n$ 求和，得到

因此 $a_n>\ln (n+1)-\ln n=\ln (1+\frac{1}{n})>0$，数列有统一下界 $0$。由单调有界准则，$\{a_n\}$ 收敛。
这里仅需证明极限存在；由每项为正并不能单独推出极限严格为正，也不能推出极限为零。